Jeg er nødt til at begynde med at brokke mig: Hvad i alverden går der gennem hovedet på Numb3rs-forfatterne, når de lader Amita, ass.prof i matematik ved et topuniversitet, bruge sin tid på at skaffe jakkesæt til David. Det er da helt ude i hampen. Hvadenten hun har god smag eller ej.
Nå, men matematikken. Jeg så noget risk/reward analyse. Charlie fortalte om, hvordan dyr laver den slags analyser, når de søger føde. Det var det, de viste, med musene, der skulle finde føde på en mark, hvor de samtidig blev jaget af en musvåge.
Der var noget om beregning af sandsynligt landingssted for faldskærmsudspringeren, forudsat kendskab til vind og vejr og terræn.
Risk/reward
Det er et kæmpe område, som (naturligvis) er vigtigt i finansiering, men som også studeres i biologi, sådan som Charlie beskrev det. jeg har fundet en fin reference: Optimal Foraging Theory: Constraints and Cognitive Processes. Det er kapitel 6 i en biologibog. Der er lavet mange eksperimenter med dyr, hvor man undersøger, om de er risikovillige eller ej. Det afhænger, så vidt man kan se, af, om de er sultne eller ej. Og om de har unger, de skal fodre på. Forsøgene her var med fugle og (humle) bier, og risikoen var, om der var store mængder mad med en vis sandsynlighed (og ingenting med en vis sandsynlighed), eller mindre mængder med sikkerhed. (Statistikerne ville sige, at der er samme middelværdi men forskellig varians.) Man skal tage hensyn til, at dyrene måske ikke husker langt tilbage, så de har måske ikke fornemmelse af gennemsnittet, men kun det, de fik sidste gang. I andre forsøg har man givet rotter mad med eller uden risiko for elektrisk stød. De løber gerne risikoen, hvis der er nok mad.
Charlie siger, at han kan se, at forbryderne må have været desperate. Altså: For at løbe så stor en risiko, skal man virkelig være “sulten”, hvis man er en rotte.
En analyse af risiko kontra udbytte for et dyr kunne være målt i energi: Hvor meget energi skal bruges på at få fat på bytte, som giver en vis energi. For stære, der fodrer nger, optimerer de den energi, ungerne får – de brger energi på at vente, forældrene bruger energi på at flyve. Derfor flyver forældrene tidligegt tilbage – de kunne have plads til mange larver i næbbet (og de bruger ikke megen energi på at samle flere), men ungerne bruger energi mens de venter.
For bier bliver det mere og mere besværligt/energikrævende at flyve, jo mere nektar, de allerede har samlet. Så hvad er optimalt for en bikube? Skal den enkelte arbejderbi skaffe mest muligt på kortest tid (og falde død om for tidligt), eller skal den flyve hjem ind imellem for ikke at blive overbelastet? Det ser ud til, bikuber sætter værdi i deres arbejdsbier. I hvert fald passer modellen med, at de flyver hjem ind imellem, bedst til data. Det er der en fin graf over i referencen ovenfor, men jeg kan ikke kopiere den herover, så I må selv kigge efter…
For bier, der testes for risikovillighed, opstår en ny problematik: Hvor mange besøg ved en blomst kan de huske? I kapitlet ovenfor forestiller man sig, at bier kan regne gennemsnit ud af to besøg ved en gul blomst. Og sammenligne med besøg ved en lilla. Hvis den gule nu giver 6 enheder pollen med sandsynlighed 1/3, og den gule giver ingenting med sandsynlighed 2/3. Den lilla giver 2 enheder hver gang. Hvad kan humlebien så regne ud?
Den besøger to gule blomster, lagrer informationen om gennemsnitligt udbytte og får
I gennemsnit (6+0)/2=3 med sandsynlighed 2×1/3 x2/3= 4/9
I gennemsnit (6+6)/2=6 med sandsynlighed 1/3 x1/3 =1/9
I gennemsnit 0+0/2=0 med sandsynlighed 2/3×2/3=4/9
Den sammenligner med den lilla blomst, og vil så mere end halvdelen af gangene ende med at foretrække den gule. Men det gennemsnitlige udbytte er naturligvis 2 enheder. 3x 4/9 + 6x 1/9 =18/9=2
Biologerne har regnet på forskellige mulige strategier – bien kunne skifte til en anden farve blomst, hvis den ikke finder noget (men så vil den jo efter kort tid holde sig til de lilla). Det er, som vi har set før, opstilling af en model, som man sammenligner med data.
Andre modeller forudsætter, at der er noget tilfældighed involveret. Men, som garvede Numb3rs læsere vil vide, så skal man overveje, hvilken struktur der er i tilfældighederne. På
Optimal Patch Exploitation fra Wolfram Demonstrations Project er en animation af daphnier, der udforsker et område ved at bevæge sig i ryk, dreje en vinkel, så et nyt “hop”. Vinklerne vælges med en vis sandsynlighedsfordeling. Nu kan man så se, hvad virkelige daphnier gør, om det er optimalt, om det passer til en af modellens muligheder, om der er andre muligheder, der ville have været bedre.
Drop Zone
Der er faktisk formler for, hvor faldskærmsudspringere ender henne.
Jeg har Googlet mig til lange instruktioner for amerikansk militær. En formel er D=KAV formlen D er afstand til ønsket landingssted. K er en konstant, som er 3, hvis det er frit fald og 25, hvis det er en faldskærm (her smider de nu nok udstyr ud, må man håbe). A er flyvehøjden målt i 1000 fod. V er den gennemsnitlige vindhastighed målt i knob. Vinden er beregnet med en retning – så der er en vinkel i grader involveret (smart nok tænkt…)
Man bruger den også omvendt til at finde HARP, High Altitude Release Point udfra de andre data. Konstanten K afhænger i øvrigt af typen af faldskærm – hvor godt den svæver.