OBS. Dette er om afsnittet i aften, så læs nu ikke forud…Jeg poster nu for at holde lidt påskeferie.
Charlie brugte fraktal dimension til at gennemskue, at visse tegneseriealbums var forfalskninger. Og han brugte en anden type billedanalyse (eller muligvis var det også fraktal dimension – det fik jeg ikke fat i) til at se, at det var samme person, der havde forfalsket dem.
Han brugte også auktionsteori til at gennemskue, hvornår det rigtige album kom – men det var nu lidt overkill, skulle jeg mene. Det kunne man nok godt have gennemskuet uden…
For de modebevidste, der vil have en T-shirt som den, Charlie har på, da han går rundt og ser på tegneserier, kan den faktisk købes hos Mathworld. Se her. Prisen er 8 engelske pund plus moms. Vil man have Charlies frisure, skal man nok gøre noget helt særligt.
Fraktal dimension
Teknikken, der omtales, stammer fra Sung-Hyuk Cha, Charles C. Tappert, Michael Gibbons, and Yi-Min Chee, Automatic Detection of Handwriting Forgery using a Fractal Number Estimate of Wrinkliness, Int. J. Pattern Recognition and Artificial Intelligence, 2004.
Den handler om at genkende forfalskede underskrifter.
Man så formlen
Wrinkliness= log (high_resolution/low_resolution)/log(2)
Ideen bag er, at man bruger længere tid på at “tegne af”, altså efterligne en håndskrift, end på at skrive frit. Så den streg, man laver, når man forfalsker, vil have små bitte “rystelser”, som man kan se, når man forstørrer den op.
Den fraktale dimension skal fungere som et mål for, hvor “rynket” stregen er. Dens “wrinkliness”.
En pæn glat “urynket” kurve kan tilnærmes med en stykvist lineær kurve:
Jo flere knæk man tillader, eller jo kortere linjestykker – det er det samme for en pæn glat kurve, men vi skal se nedenfor, at det ikke altid er rigtigt- jo bedre tilnærmes kurven. Man kan finde længden af den “pæne” kurve ved at tage længden af de stykvis lineære tilnærmelser og se, hvad dette tal nærmer sig nå man tillader flere og flere delepunkter. Hvis det nærmer sig et tal, er dette tal længden af kurven. For en cirkel kan man tænke på at nærme sig med polygoner med flere og flere kanter. En ligesidet n-kant, hvis hjørner ligger på en cirkel med radius r, har sidelængde 2r sin(pi/n), og altså omkreds 2n rsin(pi/n). Tænker man i stedet på at tilnærme med polygoner “udefra”, så er sidelængden i en omskreven n-kant 2r tan(pi/n) og altså er den samlede længde 2nr tan(pi/n)
Tegningen her (fra MathWorld) viser en femkant indskrevet i en cirkel med radius R og omskrevet en med radius r. Man har altså omkredsen af en cirkel klemt
2nr sin(pi/n) < omkredsen < 2nr tan(pi/n)
Man argumenterer nu for, at 2n sin(pi/n) vokser med n, mens 2nr tan(pi/n) aftager, og at de nærmer sig hinanden.
MEN det virker ikke altid – det er ikke alle kurver, der har en længde – hvis man bruger kortere og kortere stykker i polygonen, der skal tilnærme, bliver den samlede længde ustyrlig:
Her er nogle skridt i konstruktionen af Von Kochs snefnug. En fraktal kurve konstrueret af Helge Von Koch i 1904 – længe før fraktaler blev et hit. Billedet er fra Mathworld.
Kurven “knækker hele tiden”. Hvis man forstørrer et stykke af den op, ser det hele tiden kvalitativt ens ud. Forsøger man at måle den ved at bruge kortere og kortere linjestykker, vil man skulle ind i flere og flere af knækkene, så det løber løbsk:
Her er en lille del af snefnugget. Start med et linjestykke, der er L langt. Del i tre lige store dele og lav en ligesidet trekant på midterstykket. Hvert af de 4 stykker på den knækkede kurve er nu L/3. Lav samme manøvre på hvert af de 4 stykker og få en kurve af 16 stykker hver med længde L/9. Og så fremdeles.
Den kurve, der fremkommer, ser lidt “ulden” ud, og når man kigger nærmere paa den, kan man se knækkene – flere og flere, jo tættere, man går på. Og det ser hele tiden ens ud- lige meget,hvor meget man forstørrer. Det er det, der karakteriserer en fraktal.
Den fraktale dimension af Von Koch fraktalen er ln(4)/ln(3)=1,262… Det er altså ikke et helt tal!!!
Den fremkommer sådan: Hvis man gør målestokken 3 gange finere (tillader at liniestykkerne er 1/3 så lange som før), er der 4 gange så mange knæk/”stykker” i den approksimerende kurve.
For en pæn glat kurve vil man få dobbelt så mange kanter i den approksimerende kurve, hvis man lader stykkerne blive halvt så lange. Altså får man fraktal dimension 1.
En glimrende dansk side findes på Nørre Gymnasium: Fraktaler og Kaos af Torsten Meyer. Der kan man også se udregning af den fraktale dimension af Englands kystlinie. Kystlinjers fraktale dimension afhænger af, hvordan de er dannet – noget med istider og sådan…
I den algoritme, Charlie bruger, tager man to digitale billeder (med en sædvanlig scanner) af den “streg” S, man vil undersøge. Antallet af pixels i billede 2 er 4 gange så højt som i billede 1 (pixels ser “halvt så store” ud – på begge leder).
rynketheden er
log(“antal pixels langs randen af S i billede 2″/”antal pixels langs randen af S i billede 1”)/log(2)
(log er her den naturlige logaritme). Det er sådan set ikke en fraktal, så det er heller ikke fraktal dimension, men ideen er den samme; man bruger bare kun et enkelt skridt med at “zoome ind”
I artiklen påstås, at man kan gennemskue forfalskninger ved metoden; at de er mere rynkede end de virkelige. Men det gælder kun gode forfalskede underskrifter. Hvis man ikke gør sig umage, skriver man hurtigt, og det rynker ikke så meget….
At kystlinier bliver længere, hvis man måler den med en kortere målestok kaldes Richardson effekten, da det er en observation, der skyldes Lewis Fry Richardson, engelsk matematiker, fysiker, psykolog, pacifist m.v.