Jeg lagde mærke til matematik i Charlies “Hand Path prediction” og i hans klassifikation af de velgørende formål – via et “recommender system” a la dating hjemmesidernes matching af folk.
Frosne græskar
De frosne græskar (frosset med flydende kvælstof) som studerende smed ud fra taget af den bygning, Alan sad ved, er en tradition fra CalTech – søg på “frozen pumpkins caltech” – der er en lille film på youtube og diverse instruktioner. – Det er en tradition fra 70’erne, som holdes i hævd – til Halloween naturligvis… Det videnskabelige indhold er et ordspil: Græskarrene kastes ud fra Millikan biblioteket – The Millikan Pumpkin Drop. Ordspillet går på Millikan eksperimentet, The Millikan Oil Drop, hvor man bestemmer elektronens ladning. Robert A. Millikan fik Nobelprisen i fysik for bl.a. dette eksperiment, og biblioteket på CalTech er opkaldt efter ham.
Han fik en for lav værdi for ladningen, fordi han havde en forkert værdi for luftens viskositet, men han var tæt på…
Håndbevægelser – forudsigelser.
Jeg fandt en artikel om netop det! Intrinsic joint kinematic planning. II: Hand-path predictions based on a Listing’s plane constraint af LIEBERMANN D. G.; BIESS A. ; GIELEN C. C. A. M. ; FLASH T.. De studerer armbevægelser. Det er ret indviklet: Man har en rotation i skulderledet og desuden bevægelse i albuen og håndledet. Forudsætningerne for artiklen ovenfor, er at “Listings lov” gælder, og det studerer forfatterne i Intrinsic joint kinematic planning. I: Reassessing the Listing’s law constraint in the control of three-dimensional arm movements.
Listings lov (og her er det ikke jura, men en lovmæssighed i “naturen”, det gælder) handler oprindelig om, hvordan øjnene flytter sig. Hvis man flytter blikket fra at kigge lige ud (primær position) til et andet punkt i rummet, siger Listings lov, at bevægelsen foregår som en rotation om en fast akse og at der er en fast plan, som alle disse akser ligger i (hvis man holder hovedet stille).
Hvis vi tænker på øjet som en kugle, vil man altså flytte blikket ved at rotere kuglen, men ikke omkring en akse gennem centrum – Listings plan ligger lidt bagved, forstået som længere inde i hovedet, end centrum af øjet.
Tak til Tutis Vilis og Douglas Tweed for billedet, som jeg fandt her.
På billedet ovenfor viser de sorte pinde den akse, øjet drejer sig om, for at nå ud til de 8 positioner yderst. De sorte pinde sidder i Listings plan. Det er altså en rotation, der flytter øjets placering og ikke bare drejer det om sig selv.
Skal man flytte blikket mellem to positioner, som ikke er “kig lige ud”, er bevægelsen mere kompliceret. Det kan man f.eks. læse om her, hvor der også er billeder af gamle mekaniske apparater, der simulerer øjets bevægelser.
Her er “Ruetes ophthalmotrope” 
Øjet er (på billedet) fæstnet med skruer i en Listings plan. På nogenlunde samme måde (men ikke med skruer ) sidder vores øjne fast i muskler. Von Helmholtz, som bloglæsere måske kender fra fysik, studerede bl.a. øjets bevægelser udfra en betragtning om, at de skulle foregå med mindst muligt muskelarbejde, og det giver en slags forklaring på Listings lov. Han skrev en bog om “fysiologisk optik”.
En plan rotation kan beskrives ved en vinkel og en omløbsretning – man giver kort med eller mod uret. Rumlige rotationer er mere indviklede.
Lad os se på rotationer omkring (0,0,0). En rotation i en plan kan beskrives ved en vinkel og en omløbsretning – med eller mod uret er forskellig, alt efter om man ser på planen “nedefra eller ovenfra. ”
I rummet skal vi beskrive en rotationsplan ved at give en akse vinkelret på.
Man kan beskrive en akse ved hjælp af et punkt på kuglefladen med centrum i (0,0,0), og så skal man fortælle hvad vinklen er. Så punkterne på kuglefladen samt en vinkel mellem -180 og 180 grader kan beskrive alle de rotationer, der findes. Men nogen af dem er kommet med flere gange – en rotation på +100 grader omkring aksen rettet mod Nord er det samme som at rotere -100 grader omkring aksen rettet mod Syd. (Og tilsvarende om alle antipodiske retninger. Og vinkler)
En anden beskrivelse fås i et 3d koordinatsystem ved at give koordinaterne for hvor hver af akserne (1,0,0), (0,1,0) og (0,0,1) drejes hen. De skal stadig være vinkelret på hinanden efter rotation, og udgøre et højrehåndssystem: (tommel, pege og langefinger kan kun anbringes på en måde, hvis de skal stå vinkelret på hinanden og man ikke skal anstrenge sig for meget), så faktisk kan man nøjes med at angive, hvor de første to drejes hen, så kan man regne ud, hvor den tredje ender.
Mængden af alle rotationer i rummet kaldes SO(3), og de rotationer, der opfylder Listings lov, er en delmængde af SO(3). Det er meget mere end en mængde, der er meget mere struktur – man kan f.eks. sammensætte to rotationer og få en ny rotation (en rotation om en akse efterfulgt af en rotation om en anden akse kan altid beskrives som een samlet rotation – om en ny akse). Desuden kan man give mening til, om man gradvist bevæger sig fra en rotation til en anden – varierer vinklen kontinuert eller varierer aksen kontinuert. (For afficionados: SO(3) er en Lie gruppe)
I computerspil bruges matematiske beskrivelser af bevægelser, og rotationsbevægelser beskrives faktisk ved hjælp af kvaternionerne – se Wikipedia artiklen, hvis du har mod på en lang forklaring.
Recommender Systems – automatiske anbefalinger
Når man på internetboghandlen Amazon køber eller bare kigger på en bog, får man en liste over andre bøger, som man formentlig vil være interesseret i. Og når man har købt mange bøger gennem årene, får man en liste over personlige anbefalinger, når man opsøger sitet.
Algoritmen bag er et “recommender system”. Amazon ved, hvad andre købere har købt, når de lige har købt The Princeton Companion to Mathematics, og det regner de med gælder for mig også.
Mere indviklet bliver det, når de skal anbefale bøger til mig i det hele taget. For hvad siger de samlede køb om, hvilke nye bøger, jeg gerne vil læse. Overordnet set kan jeg lære af andre købere.
Google’s Page Rank giver en rækkefølge af, hvilke websites, man formentlig skal bruge, hvis man søger på f.eks. Numb3rs. Når jeg søger, kommer denne blog højt op, men det er muligvis fordi Google ved, det er mig – i hvert fald ved de, at jeg søger fra en maskine i Danmark. Som I kan se, er det ikke alt om PageRank, der er kendt… Den grundlæggende filosofi er, at gode sites bliver der linket til fra andre sites, som igen er bedst at få et link fra, hvis der er mange, der linker til dem etc. Det kan man læse om mange steder. For eksempel her under Københavns biblioteker, hvor matematikken også beskrives meget simpelt.
Et dating site skal give en prioritering af mulige partnere i deres database udfra det, man fortæller om sig selv. Jeg har fundet min mand på den gammeldags facon, så jeg ved ikke, hvad man bliver spurgt om på sådan et datingsite, men spørgsmålene skal, for at give gode match, være designet udfra, hvad man plejer at skulle vide om hinanden for at blive gode partnere. Og det kan jo være mange ting.
Her er en oversigt over links vedrørende recommender systems.