4-04 Thirteen

OBS: Dette postes lidt for tidligt – jeg skal til konference! Så læs det nu ikke i forvejen – der afsløres måske lidt af plottet.
Sikken et væmmeligt afsnit af Numb3rs. De er vist inspireret af filmen Seven, men denne gang uden Brad Pitt og Kevin Spacey.
Det handlede om talmagi, Gematri. Desuden var der en anvendelse af en billedrekonstruktion fra et overvågningskamera. I forbindelse med talmagien blev Fibonaccital og det gyldne snit omtalt, og Charlie nævnte “Små tals lov”, som siger noget i retning af, at hvis man har en stribe tal, kan man altid finde et eller andet system i dem.
Charlie fortalte sin far, at han havde indset, at glæden ved at undervise ikke ligger i at vide en hel masse, men i at se andre lære det.

Fibonaccitallene
Talfølgen 1,1,2,3,5,8,13,21,34,…
hvor man finder den næste term som summen af de to foregående, kaldes Fibonaccifølgen. Jeg har tidligere skrevet om Fibonacci og det gyldne snit her. Det gyldne snit er tallet (1+ √5)/2 og det nærmer man sig, hvis man i Fibonaccifølgen dividerer et tal med dets forgænger, og går længere og længere ud i følgen. Den spiralformede figur, man så på væggen i serien, var en Nautilusblæksprutte. Den er efterkommer efter Ammonitterne, som man finder i forsteninger. Nautilusblækspruttens skal er spiralformet, og spiralen påstås at være en såkaldt gylden spiral.
Alle punkter i planen kan beskrives
x=r cos(v), y=r sin(v)
r er afstanden ud til punktet og v er vinklen fra x-aksen op til en linie fra origo til punktet. En spiralbevægelse kan så beskrives
x(t)=r(t)cos(v(t))
y(t)=r(t)sin(v(t))
I en logaritmisk spiral er r(t)=exp(kv(t)) (hvor exp er eksponentialfunktionen). nautilusskallen er en logaritmisk spiral, fordi væksten afhænger af, hvor stor den allerede er. Læs mere her . Den gyldne spiral fremkommer fra gyldne rektangler:

Fra wikimedia commons. http://da.wikipedia.org/wiki/Gyldent_rektangel

I hvert rektangel er forholdet mellem sidelængderne det gyldne snit. En anden beskrivelse er, at når man fjerner et kvadrat, vil det nye rektangel stadig være et gyldent rektangel: Hvis den korte side er a og den lange kaldes a+b, er (a+b)/a forholdet mellem siderne. Fjerner man et kvadrat med sidelængde a, har det nye rektangel sidelængder a og b.

Ligningen (a+b)/a=a/b omskrives til (a/b)^2-a/b=1, som har løsning det gyldne snit (1+ √5)/2 (og (1- √5)/2, men vi vil ikke have negative sidelængder.)

Der er mange spiraler, der kan tegnes gennem de punkter. Og mange mener ikke, det er den spiral, der forekommer i Nautilusskallen. Se f.eks. V.L.Hansen og L.Andersen i en DTU rapport. Også i Nexus Journal af John Sharp.

Gematria
Talmystik findes i mange variationer – som Hausgaards anekdote om broderen, der nu kalder sig Kurit i stedet for Kurt, fordi han har været til numerolog!
Gematri handler om talmystik i forbindelse med græske og hebraiske bogstaver. man oversætter hvert bogstav til et tal og tager så summen af tallene i et ord og udleder ting fra det. For eksempel har ordet stige på hebraisk samme værdi som Sinai; ergo var det Sinai, Jakob klatrede og ad, da han klatrede op ad Jakobsstigen. Tjah. Mit efternavn Fajstrup har på hebraisk værdien 1070 ifølge Mystical Internet…. Og Lisbeth er 507, som man får oplyst er det samme som flyvende slange, kød, krop og stjerne; hmmm, der er da vist mange muligheder for fortolkninger.
Jeg er helt enig med Larry, som citerer Stephen J. Gould for a man skal holde religion og (natur)videnskab i hver sin kasse.
Men naturligvis kan Amita bruge sin matematik til at gennemsøge telefonnumre efter dem, der har den “rigtige” tværsum – altså den som morderen vil have. Selvom hun ikke selv mener, der er noget særligt ved den tværsum.

Små tals lov
I en artikel , The strong law of small numbers Richard K. Guy, American Mathematical Monthly 1988. Giver matematikeren Guy en hel stribe eksempler på noget, der ligner struktur i en række tal, men som ikke er det. Navnet Strong law of small numbers går nu tilbage til Martin Gardner, som skrev klummer i Scientific American. Det spiller på store tals lov, som er en sætning i sandsynlighedsteori. Hvis man slår med en terning vil man forvente, at man i gennemsnit slår (1+2+3+4+5+6)/6=3,5, og slår man mange gange, vil gennemsnittet af de slag, man har slået, nærme sig 3,5.
Tilbage til små tals lov: Struktur ved første øjekast, men ikke på langt sigt:
Tag polynomiet
(n^4-6n^3+23n^2-18n+24)/24
For n=1,2,3,4,5 får man 1,2,4,8,16 altså potenser af 2. Men så fortsætter den med 31, 57, 99,…
I relation til Fibonaccitallene: Udregn exp((n-1)/2)) for n=1,2,3,4,5,…. Når det ikke er et helt tal tager man det hele tal, der er nærmest, men større. (For eksempel: Hvis man får 4,333 skal heltallet være 5). Det giver følgen 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,34,55 altså Fibonacci, men så får man 91, 149 som de næste. Man kan altså nemt blive snydt.
Et meget slående eksempel fandt jeg på The prime pages glossary. Største fælles divisor af tallene n^17 +9 og (n+1)^17 +9 ser ud til at være en. Selv, hvis man tester det for rigtig mange værdier af n. Første gang, det går galt, er for n=8424432925592889329288197322308900672459420460792433. (Og nej, det har jeg ikke checket. )
I moderne datamining, hvor man har kæmpedatabaser, kan man altid finde en eller anden form for struktur i data. Men det er jo ikke altid, at det har nogen relation til en fornuftig sammenhæng, som f.eks. kan forventes at blive ved med at være der, når databasen vokser. Man skal være meget varsom med den slags struktur. Især, hvis man har tænkt sig at bruge den til at anbefale en eller anden form for reaktion : Spis ikke dette, anhold alle dem, der er rødhårede, eller noget lignende.

This entry was posted in Blog. Bookmark the permalink.

1 Response to 4-04 Thirteen

  1. Sune says:

    Umiddelbart ser det måske ikke så interessant ud, at polynomiet (n^4-6n^3+23n^2-18n+24)/24 antager 5 toerpotenser: Man kan jo altid konstruerer et d’te-gradspolynomium der går gennem d+1 givne punkter. Men en grund til at polynomiet er interessant er, at det giver antallet af 4-dimensionelle rum man kan dele et 4-dimensionelt rum med n-1 3-dimensionelle underrum. Generelt, hvis man laver et d’te-gradspolynomium så p(1)=1, p(2)=2…,p(d+1)=2^d, giver p(n-1) antallet af rum man kan dele et d-dimensionelt rum i, med n (d-1)-dimensionelle underrum. Men jeg må indrømme at eksemplet med det 52-cirfrede tal er mere imponerede.
    Et andet eksempel på, at man ikke skal stole på at en påstand gælder generelt, fordi den gælder for små tal, er Shapiros ulighed, som er en ulighed der gælder for lige n<13 og ulige n<24 (http://en.wikipedia.org/wiki/Shapiro_inequality). Tallene 13 og 24 er godt nok ikke imponerede store tal, men til gengæld indeholder uligheden implicit en alkvantor (over de positive reelle tal) til forskel fra mange af de andre eksempler på de små tals lov.

Comments are closed.