Der var et gennemgående tema idag, nemlig tilfældighed. Og hvordan det generelt misforstås. Charlie havde to billeder med prikker og spurgte sine studerende, hvilket der mon stammede fra regndråber, der falder tilfældigt. Man har tendens til at tro, at det er det, hvor punkterne er spredt nogenlunde jævnt ud og man ikke har nogen der ligger tæt på hinanden; men faktisk er det jo ret usandsynligt, at der ikke er nogen, der falder meget tæt på hinanden. Hvis altså det er tilfældigt, hvor regndråber falder i forhold til hinanden… Et eksempel på tilfældighed, som opfattes ikke tilfældigt, var shufflefunktionen i en MP3 afspiller, hvor mange tror, at deres MP3 foretrækker bestemte numre, siden de tit kommer først.
Et andet emne var trafikovervågningen i Los Angeles. Man har konstant overvågning af trafikken – se LARTMC, Los Angeles Regional Transportation Management Center. Der kan man f.eks. finde et kort over hele freewaysystemet og hvor galt det ser ud med trafikken på de enkelte vejstrækninger. I Danmark har vi TRIM der overvåger trafikken i Københavns området, og vi kan skam også se trafikken i Aalborg.
Er der nu matematik i det? Faktisk er der masser af matematik i trafikplanlægning. En model for trafik og for trafikregulering bruger typisk mange forskellige slags matematik og kombinerer det i et computerprogram , der kan simulere løsning til alle disse underliggende ligninger. Man kan meget sjældent løse den slags eksakt.
Opbygning og afvikling af køer er, som man kan se hver dag på de danske veje, en indviklet proces. Et synspunkt er, at man har en periode, hvor kapaciteten på vejen er for lille til de biler, der skal igennem. Det giver anledning til opbygning af en kø. Når så kapaciteten igen er høj nok – man har fjernet en havareret bil el. lign. – tager det tid at afvikle køen igen. Det kan f.eks. studeres som køteori og hører til i statistik eller operationsanalyse, og bruges mange steder. Design af “samlebånd”, hvor man har en vis kapacitet forskellige steder, design af computernetværk – modellering af trafk på internettet osv.
Desuden er det vigtigt med gode modeller, hvis man vil lave automatisering af trafikken eller af trafikreguleringen. En meget lille del af et intelligent reguleringssystem kan være regulering af trafikken ind på motorvejene. Hvis man kan se, at der er ved at opstå kø, bliver der rødt lys for tilkørslerne. Se f.eks. “Ramp metering” projektet her fra Lancaster. På Contram finder man et program, der modellerer trafik; det bruges bl.a. i Stockholm og mange andre steder i Sverige og Norge. I Danmark har Lyngby Tårbæk kommune en licens, men det må vel være en anden kommune nu… Man kan lægge sit eget vejnet ind og give data for, hvor mange, der vil køre fra A til B og hvornår. Det er selvfølgelig meget væsentligt at man kan lave den slags modellering, inden man bygger nye veje, broer og tunneler. Andre modeller medtager muligheden for at sende nogen med tog, på cykel osv. Desuden, kan man lave beregninger af omkostninger – miljømæssigt, transporttid,… Systemerne kan også bruges til at give bilisterne informationer, som så kan få dem til at ændre rute, et Advanced Traveller Information System.
Charlie siger, at man modellerer trafik på motorvejsnettet på samme måde som væskestrømning i rør, der er forbundet. Han omtaler partielle differentialligninger. Jeg har fundet en artikel, eller rettere noget undervisningsmateriale fra NYU om netop den model. Her kommer en forhåbentlig ikke alt for teknisk forklaring – for mere teknik, se linket ovenfor.
Vi ser på en lang vejstrækning – ikke et helt netværk med sideveje etc.
x måler, hvor langt henne ad vejen, vi er, t er tiden. lad Q(x,t) være antallet af biler, der passerer x-kilometermærket i tidsrummet mellem t og t+1 sekunder (eller noget lignende) (Q er flux i fysiksprog) Vi har et mål for tæthed, [tex]rho(x,t)[/tex] er antal biler mellem x og x+ 1 meter til tiden t. U(x,t) betegner gennemsnitshastigheden for de biler, der er mellem x og x+1 meter til tiden t.
Der er en sammenhæng, Q=[tex]rho[/tex]U
som følger af en betragtning om, at de biler, der passerer x med hastighed u i tidsintervallet t til t+1, er dem, der befinder sig tæt nok på til at nå der hen. Hvis alle biler har samme hastighed U m/s og tætheden er konstant [tex]rho[/tex] biler/m, må antallet af biler, der passerer x i løbet af et sekund, være [tex]rho[/tex]U.
Er tæthed og hastigheder ikke konstant, skal man overveje det lidt nøjere – det kan man læse via linket ovenfor.
Biler fordamper ikke, så der er en sammenhæng mellem ændringer i [tex]rho[/tex] og ændringer i Q. Det giver en partiel differentialligning (partiel, fordi vi ser på to variable, nemlig x og t).
Hvis man tilføjer, at gennemsnitshastigheden afhænger af tætheden – heldigvis kører vi ikke så hurtigt, når der er meget tæt trafik – får man en anden sammenhæng mellem [tex]rho[/tex] og Q via en funktion Q([tex]rho[/tex]), som er 0 for [tex]rho[/tex]=0, så vokser den til et maksimum, aftager og bliver igen 0, når [tex]rho[/tex] er så stor, at trafikken går i stå.
Man kan f.eks. sætte Q([tex]rho[/tex])=[tex]rho[/tex](1-[tex]rho[/tex])
Eftersom trafikken bevæger sig hurtigt ved lave tætheder, vil områder med lav tæthed “indhente” dem med højere tæthed og dermed skabe endnu højere tæthed foran sig og lavere tæthed bag sig, og der bygges op til meget høj tæthed. Man får altså områder med meget lav tæthed og områder med meget høj tæthed og tilsvarende hastigheder. Det kaldes chokbølger og vi kender det fra motorvejen, hvor man pludselig, efter at have kørt med god fart, indhenter et område med lav fart, uden man umiddelbart kan se, hvad problemet er.
Der er en fin illustration her fra Utrecht af trafikken i sådan en model.
I Danmark har vi også trafikmodeller. Se f.eks. DTUs Modelcenter.