Hej bloggere.
Matematikken idag var noget om diffusion af gasser, “site”-perkolationsteori og lineær diskriminantanalyse.
Perkolation eller gennemsivning.
Charlie ville bruge “site”-perkolationsteori til at anlysere, hvordan forbryderen kom ind i metroen; og senere til at finde ud af, hvordan en forbryder vile kunne komme ind på Rådhuset.
Perkolationsteori giver gode modeller for problemer i fysik.
Man spørger f.eks. om væske kan sive igennem et porøst materiale eller ej. Modellen kan være, at væsken skal fra punkter i planen med heltalskoordinater til nabopunkter, og at der en vis sandsynlighed for, at passagen til en given nabo er åben.
(Fra Eric Weisstein “Percolation Theory.”)
Billedet “bond percolation” viser perkolation fra hjørnepunkter til hjørnepunkter, mens “site percolation” forestiller en situation, hvor man skal passere fra en kant til en anden kant via kvadratet imellem.
Jeg vil kun diskutere “bond percolation”.
Nogle passager mellem punkter er åbne, andre ikke. Man kan forestille sig, at billedet laves ved, at man for hver kant kaster en mønt, som med sandsynlighed p vender den side opad, hvor der står “passagen er åben”. (Samme sandsynlighed for alle kanterne.)
Hvis sandsynligheden p for, at en passage er åben, er 0, kan der ikke sive noget igennem fra top til bund; er den 1, kan der.
Hvis man har et stort område af planen med – 100×100 punkter f.eks., vil der være en meget brat overgang fra sandsynligheder p, hvor der ingen vej er fra top til bund (sandsynligheden for, at der er en vej igennem, er 0), til sandsynligheder p, hvor der altid er en vej (med sandsynlighed 1).
Har man hele planen med, siger et resultat af Kolmogorov, at der er en grænsesandsynlighed pc, hvor der ingen gennemsivning (vej igennem) er for sandsynligheder mindre end pc, og der altid er for sandsynligheder større end pc.
Der er altså et brat skift i egenskaber, en slags faseovergang. Sandsynligheded kan for eksempel afhænge af temperaturen i et materiale.
Man har en del formodninger om perkolationsteori fra eksperimenter i fysik, men de er forbavsende svære at vise.
Anvendelserne af perkolationsteori er mange; ledning af elektrisk strøm, gas og olies vandring gennem porøse materialer, spredning af viden, udbredning af en revne i et keramisk materiale etc.
Diffusion
Når man lukker (giftig) gas ud af en beholder, vil den spredes. Man har gassens molekyler samlet på et lille område, og de bevæger sig og støder ind i andre molekyler og spredes på den måde. Hvordan det sker, afhænger af mange faktorer: temperaturen af gassen i forhold til omgivelserne, trykket i beholderen, massen af gasmolekylerne i forhold til de andre molekyler siger noget om, hvad resultatet af sammenstødene er, og hvor tit de forekommer. Den slags studeres i statistisk mekanik, hvor sandsynlighedsteori er en af ingredienserne. De ligninger, vi bruger til at beskrive opførslen alt i alt, altså ikke for hvert enkelt molekyle, men for rigtig mange af dem, er partielle differentialligninger – man beskriver, hvordan tætheden af gassen forskellige steder i rummet ændrer sig med tiden. Et eksempel på en diffusionsligning er varmeledningsligningen, som siger, hvordan varme udbreder sig i et materiale – varm det op i den ene side, og det bliver efterhånden varmt over det hele, hvis ellers det leder varme. Charlie brugte en generaliseret diffusionsligning til at studere togvognen.
Lineær diskriminantanalyse.(LDA)
Charlie fortæller, at man efter det første angreb på World Trade Center i 1994 (tror jeg nok) analyserede mulige mål for nye terrorangreb ved hjælp af lineær diskriminantanalyse. Det er en metode i statistik, og jeg vil ikke rode mig ud i en alt for lang forklaring. Men det er en metode til at analysere en stor datamængde – for hvert muligt terrormål har man en hel masse tal: Hvor mange vil blive dræbt, hvor let er det at komme til, hvor spektakulært er det etc. Hvis man har 127 af den slags variable for hvert mål, er det et 127 dimensionalt rum, man opererer i – hvert terrormål er et punkt i et rum af dimension 127. Man vil gerne finde en opdeling af det 127 dimensionale rum, som skiller forskellige typer data ad.
Ligesom en plan i det 3-dimensionale rum, der deler det i to dele. Man skal så ikke kende alle de tre koordinater for at se, om et punkt er på den ene eller den anden side af planen. Man skal faktisk kun kende et tal, som er en kombination af de tre koordinater. Hvis planen er x-y-plane, skal man kun kende z-koordinaten. Hvis planen, der deler op, er mere “på skrå” er det en linearkombination ax+by+cz, der afgør, om punktet (x,y,z) er på den ene eller den anden side af planen med ligning ax+by+cz=d. Man har altså reduceret dimensionen af datasættet. For at finde den eller de(generaliserede) plan(er), der deler datasættet op, bruger man LDA.
Jeg mener, det er det, man bruger LDA til. I får en rettelse efter påske, hvis jeg har bildt jer noget ind. Statistik er ikke lige min hjemmebane!
God påske
Lisbeth Fajstrup
numb3rs@math.aau.dk
Pingback: Fieldsmedaljerne er uddelt på numb3rs